Question

【題目】如圖，在四棱柱 中，側面和側面都是矩形， 是邊長為的正三角形， 分別為的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面.

（3）若平面，求棱的長度.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析; (2)詳見解析; （3）1.

【解析】試題分析：（1）本問考查線面垂直的證明，根據線面垂直判定定理可知，應證明與平面ABCD內的兩條相交直線垂直，根據已知條件側面和側面都是矩形，所以，且，于是問題得證；（2）本問考查面面垂直的證明，應先證明線面垂直，根據題中條件為正三角形，E為AD中點，所以BEAD，根據面面垂直的性質定理，則BE平面， 平面，所以問題得證；（3）本問考查線面平行的性質定理，確定經過CF的平面與平面的交線，從而得到CF平行于交線，然后根據平面幾何知識求BC的長度.

試題解析：(1)因為側面和側面都是矩形，所以，且.因為，所以平面.

(2)因為是正三角形，且為中點,所以，因為平面，而平面，所以.因為，所以平面，因為平面，所以平面平面.

（3）因為，而為的中點，所以，所以四點共面.因為平面，而平面平面，所以.所以四邊形是平行四邊形.所以.