Question

已知函數f（x）=a-

1

2x+1

（Ⅰ）求證：無論a為何實數，f（x）總為增函數；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）求f′（x），判斷f′（x）的符號從而證出f（x）總是增函數；
（Ⅱ）由f（x）為奇函數知，f（-x）=-f（x），所以分別求出f（-x），-f（x）帶入并整理可求得a=

1

2

；f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，由2^x+1＞1即可求出f（x）的范圍，即f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）證明：f′（x）=

2xln2

(2x+1)2

＞0；
所以不論a為何實數f（x）總為增函數；
（Ⅱ）∵f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），即a-

1

2-x+1

，解得：a=

1

2

． 
∴f（x）=

1

2

-

1

2x+1

； 
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1；
∴-1＜-

1

2x+1

＜0；
∴-

1

2

＜f（x）＜

1

2

；
所以f（x）的值域為（-

1

2

，

1

2

）．

點評：考查根據函數導數符號判斷函數單調性的方法，奇函數的定義，以及指數函數的值域．