Question

已知函數f（x）=（x²+ax+b）e^x，x=1是它的一個極值點．
（1）當a=0時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當x∈[0，1]時，函數f（x）無零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：對函數求導可得，f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x由題意可得，f′（1）=0可得2a+b+3=0
（I）由a=0可求b，進而可求f′（x）=e^x（x²+2x-3）=e^x（x+3）（x-1），由f′（x）＞0，f′（x）＜0可求函數的單調區間
（II）由已知得2a+b+3=0可得b=-2a-3，由f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x=0，得x=1或x=-a-3當x∈[0，1]時，函數f（x）無零點，結合函數的圖象可得

3-a＞1 f(0)＞0或f(1)＜0

或

0≤-3-a≤1 f(0)＞0 f(1)＞0

或

0≤-3-a≤1 f(-3-a)＜0

或

-3-a＜0 f(1)＞0或f(0)＜0

從而可求a的取值范圍

解答：解：∵f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x
=[x²+（a+2）x+a+b]e^x
由題意可得，
f′（1）=0
∴（3+b+2a）e=0
∴2a+b+3=0（2分）
（I）∵a=0
∴b=-3，f（x）=（x²-3）e^x（3分）
∴f′（x）=e^x（x²+2x-3）=e^x（x+3）（x-1）
由f′（x）＞0可得，x＜-3或x＞1，由f′（x）＜0可得-3＜x＜1
∴y=f（x）的單調遞增區間為（-∞，，-3），（1，+∞）；單調減區間（-3，1）（5分）
（II）由已知得2a+b+3=0
∴b=-2a-3，f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，
則f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=[x²+（a+2）x+a+b]e^x
令f′（x）=0，得x=1或x=-a-3（7分）
當x∈[0，1]時，函數f（x）無零點，結合函數的圖象可得

3-a＞1 f(0)＞0或f(1)＜0

或

0≤-3-a≤1 f(0)＞0 f(1)＞0

或

0≤-3-a≤1 f(-3-a)＜0

或

-3-a＜0 f(1)＞0或f(0)＜0

即

a＜2 -2a-3＞0或-a-2＜0

①或

3≤-a≤4 -2a-3＞0 -a-2＞0

②或

3≤-a≤4 a2+4a＜0

③或

a＞-3 -a-2＞0或-2a-3＜0

④
解①可得，a＜2
②可得-4≤a≤-3
解③可得-4＜a≤-3
解④可得-3＜a＜-2或a＞-

3

2

綜上可得a＜-2或a＞-

3

2

（10分）
又當a=-4時，f′'（x）≥0恒成立，此時f（x）不存在極值
∴a的取值范圍為a＜-2或a＞-

3

2

且a≠-4（12分）

點評：本題主要考查了利用函數的導數判斷函數的單調區間，及方程的根的分布問題，解題中要注意分類討論思想的應用．