【題目】已知函數
有兩個極值點
(
為自然對數的底數).
(Ⅰ)求實數
的取值范圍；
(Ⅱ)求證：
.
【答案】(1)
;(2)見解析.
【解析】分析：(Ⅰ) 函數
有兩個極值點，只需
有兩個根，利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理與函數圖象可得當
時，沒有極值點；當
時，當時，有兩個極值點；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
為
的兩個實數根，
，
在
上單調遞減，問題轉化為，要證
，只需證
，即證
，利用導數可得
，從而可得結論.
詳解： (Ⅰ)∵，∴
.
設
，則
.
令
，解得
.
∴當
時，
；當
時，
.
∴
.
當時，
，∴函數
單調遞增，沒有極值點；
當時，
，且當
時，
；當
時，.
∴當時，
有兩個零點.
不妨設
，則.
∴當函數有兩個極值點時，
的取值范圍為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，為的兩個實數根，，在上單調遞減.
下面先證
，只需證
.
∵
，得
，∴
.
設
，
，
則
，∴
在
上單調遞減，
∴
，∴
，∴.
∵函數在
上也單調遞減，∴
.
∴要證，只需證，即證.
設函數
，則
.
設
，則
，
∴
在上單調遞增，∴
，即
.
∴
在上單調遞增，∴
.
∴當時，
，則，
∴，∴.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某飛行器在4千米高空飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數圖象的一部分，則該函數的解析式為（ ） 
A.y= 
﹣ 
x
B.y= 
x3﹣ 
x
C.y= 
x3﹣x
D.y=﹣ x3+ 
x
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知圓
：
，圓
：
（
，且
）.
（1）設
為坐標軸上的點，滿足：過點P分別作圓與圓的一條切線，切點分別為
、
，使得
，試求出所有滿足條件的點的坐標；
（2）若斜率為正數的直線
平分圓，求證：直線與圓總相交.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】當x∈[﹣2，1]時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A.[﹣5，﹣3]
B.[﹣6，﹣ 
]
C.[﹣6，﹣2]
D.[﹣4，﹣3]
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是某單位職工的月收入情況畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數為4 000，請根據該圖提供的信息，解答下列問題．
(1)為了分析職工的收入與年齡、學歷等方面的關系，必須從樣本中按月收入用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在[1 500,2 000)的這組中應抽取多少人？
(2)試估計樣本數據的中位數與平均數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
、
、
、
是同一平面上不共線的四點，若存在一組正實數
、
、
，使得
，則三個角
、
、
（ ）
A. 都是鈍角B. 至少有兩個鈍角
C. 恰有兩個鈍角D. 至多有兩個鈍角
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現象出現增多，大氣污染危害加重.
（1）大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病. 為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫院隨機的對入院50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計 | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 15 | 25 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
問有多大的把握認為是否患心肺疾病與性別有關?
（2）空氣質量指數PM2.5（單位：μg/
）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重. 某市在2016年年初著手治理環境污染，改善空氣質量，檢測到2016年1～5月的日平均PM2.5指數如下表：
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
PM2.5指數y | 79 | 76 | 75 | 73 | 72 |
試根據上表數據，求月份x與PM2.5指數y的線性回歸直線方程
，并預測2016年8月份的日平均PM2.5指數 (保留小數點后一位).
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