Question

已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）或

解析試題分析：（1）由題意可設(shè)，所求橢圓的方程為，且其離心率可由橢圓的方程知，因此，解之得，從而可求出橢圓的方程為.
（2）由題意知，所求直線過原點(diǎn)，又橢圓短半軸為1，橢圓的長半軸為4，所以直線不與軸重合，即直線的斜率存在，可設(shè)直線的斜率為，直線的方程為，又設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，分別聯(lián)立直線與橢圓、的方程消去、可得，，又得，即，所以，解得，從而可求出直線的直線方程為或.
試題解析：(1)由已知可設(shè)橢圓的方程為 
其離心率為,故,則 
故橢圓的方程為       5分
(2)解法一 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為 
由及(1)知,三點(diǎn)共線且點(diǎn),不在軸上,
因此可以設(shè)直線的方程為 
將代入中,得,所以 
將代入中,則,所以 
由,得,即 
解得,故直線的方程為或        12分
解法二 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為 
由及(1)知,三點(diǎn)共線且點(diǎn),不在軸上,
因此可以設(shè)直線