Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數。當橋上的的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（Ⅰ）當時，求函數的表達式；
（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀點的車輛數，單位：輛/每小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）．

Answer 1

（Ⅰ）函數的表達式為=；（Ⅱ）當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

解析試題分析：(1)由車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，可得時，；又時，車流速度是車流密度的一次函數，設，利用時及時可求出，據此可求表達式．（2）是關于的分段函數，求出每段的最大值，再比較可得的最大值．
試題解析：（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設
，顯然在是減函數，由已知得，解得
故函數的表達式為=
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得
當時，為增函數，故當時，其最大值為；
當時，，
當且僅當，即時，等號成立．
所以，當時，在區間上取得最大值．
綜上，當時，在區間上取得最大值，
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．
考點：1．函數的實際應用；2．函數的最值求法；3．均值不等式．