Question

已知函數f（x）=x³-3x的圖象與直線y=a有相異三個公共點，則a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先對函數f（x）求導，得出極值點及極值、單調區間，并求出其零點，根據以上結論畫出圖象，進而得到答案．
解答：解：∵函數f（x）=x³-3x，∴f^′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
∴當x∈（-∞，-1）或（1，+∞）時，f^′（x）＞0，∴函數f（x）在區間（-∞，-1）或（1，+∞）上單調遞增；
當x∈（-1，1）時，f^′（x）＜0，∴函數f（x）在區間（-1，1）上單調遞減．
又f（x）=0，解得x=0，±．
根據以上畫出圖象．
若函數f（x）=x³-3x的圖象與直線y=a有相異三個公共點，則a必須滿足f（x）_min＜y＜f（x）_max，∴-2＜a＜2．
所以a的取值范圍是-2＜a＜2．
故答案 為-2＜a＜2．
點評：熟練利用導數得到極值及單調性是解題的關鍵．