Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是邊長為1的正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

，G是線段EF的中點．
（Ⅰ）求證：AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）求直線BE與平面ACG所成角的正弦值的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可以A為坐標原點，AF為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標及向量的坐標，由

AG

和

BG

的數量積等于0，

AG

和

BC

的數量積等于0證明線線垂直，從而得到線面垂直；
（Ⅱ）求出平面ACG的一個法向量，利用

BE

與平面法向量所成角的余弦值求得直線BE與平面ACG所成角的正弦值的大小．

解答：（I）證明：如圖，

以A為坐標原點，AF為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系．
A（0，0，0），G（

1

2

，

1

2

，0），C（0，1，1），B（0，1，0）

AG

=(

1

2

，

1

2

，0)

BG

=(

1

2

，-

1

2

，0)，

BC

=(0，0，1)，

AG

•

BG

=0，

AG

•

BC

=0
∴AG⊥BG，AG⊥BC，∴AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）解：法一、
設面ACG的法向量為

n

=（x，y，z）
則

n

•

AG

=

1

2

x+

1

2

y=0

n

•

AC

=y+z=0
取x=1，得

n

=（1，-1，1）
而

BE

=（

1

2

，0，0）
所以，cos＜

n

，

BE

＞=

1 2

3 • 1 2

=

3

3

所以直線BE與平面ACG所成角的正弦值為

3

3

法二、
由（I）AG⊥平面BCG，平面ACG⊥平面BCG
作BH⊥GC，∴BH⊥面ACG，延長AG、BE交于K，連HK，
所以∠KHB即為直線BE與平面ACG所成角．

由（I）知，AG⊥平面BCG；，故AG⊥BG，
AF=BE=

1

2

 AB．
BG=

2

2

AB，
BH=

BC•BG

CG

=

AB• 2 2 AB

6 2 AB

=

3

3

AB．
sin∠KHB=

BH

BK

=

3

3

所以直線BE與平面ACG所成角的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查了利用空間向量證明線面間的垂直關系，考查了利用平面法向量求線面角的大小，關鍵是建立正確的空間右手系，考查了學生的計算能力，是中檔題．