Question

（1）已知a，b，x，y是正實數，求證：

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，當且僅當

a

x

=

b

y

時等號成立；
（2）求函數f(x)=

1

3-tan2x

+

9

8+sec2x

的最小值，并指出取最小值時x的值．

Answer 1

分析：（1）欲證

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，即證：(

a2

x

+

b2

y

)(x+y)≥(a+b) 2．利用基本不等式a²+b²≥2ab，乘積一定，和有最小值，等號成立的條件是兩正數相等即可證明得到；
（2）注意到sec²x-tan²x=1，利用（1）的結論，將（2）變形為f(x)=

1 2

3-tan2x

+

3 2

8+sec2x

即可．

解答：解：（1）應用二元均值不等式，得 (

a2

x

+

b2

y

)(x+y)=a2+b2+a2

y

x

+b2

x

y

≥a2+b2+2

a2 y x b2 x y

=（a+b）²，
故

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

．
當且僅當 a2

y

x

=b2

x

y

，即

a

x

=

b

y

時上式取等號．
（2）由（1）f(x)=

1 2

3-tan2x

+

3 2

8+sec2x

≥

(1+3) 2

11+1

=

4

3

．
當且僅當

1

3-tan2x

=

3

8+sec2x

，即 x=kπ，k∈Z時上式取最小值，即[f（x）]_min=

4

3

．

點評：本題考查不等式的應用，另外給你一種解題工具，讓你應用它來解答某一問題，這是近年考試命題的一種新穎的題型之一，很值得讀者深刻反思和領悟當中的思維本質．