Question

設函數，若在點處的切線斜率為．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）設，若對定義域內的恒成立，

（ⅰ）求實數的取值范圍；

（ⅱ）對任意的，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用導數的幾何意義“曲線在某點處的導數值等于該點處切線的斜率”來求；(Ⅱ)利用導數研究單調性，進而求最值.

試題解析：（Ⅰ），依題意有：； 

（Ⅱ）恒成立．

（ⅰ）恒成立，即．  

方法一：恒成立，則．

當時，

,

則，，單調遞增，

當，， 單調遞減，

則，符合題意，即恒成立．

所以，實數的取值范圍為．    

方法二：，

①當時，，，，單調遞減，當，， 單調遞增，則，不符題意；

②當時，

，

（1）若，，，，單調遞減；當，， 單調遞增，則，不符題意；

（2）若，

若，，，，單調遞減，

這時，不符題意；

若，，，，單調遞減，這時，不符題意；

若，，，，單調遞增；當，， 單調遞減，則，符合題意；

綜上，得恒成立，實數的取值范圍為．

方法三：易證

∵，∴，

當，即時，，即恒成立；

當時，，不符題意．

綜上，得恒成立，實數的取值范圍為．

（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，實數的取值范圍為．

令，考慮函數

，

下證明，即證：，即證明

，

由，即證，

又，只需證，

即證，顯然成立．

即在單調遞增，，

則，得成立，

則對任意的，成立．

方法二：由（ⅰ）知，恒成立，實數的取值范圍為．

 

令，則

，

∴在區間上單調遞增，

依題意，，

∴，

∴，即對任意的，成立．

考點：導數，函數的單調性，不等式證明等知識點，考查學生的綜合處理能力.