Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x，其中x∈R．
（Ⅰ）求曲線f（x）在點（x₀，x₀e^x₀）處的切線方程
（Ⅱ）如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線
（1）當-2＜a＜0時，證明：-

1

e2

（a+4）＜b＜f（a）；
（2）當a＜-2時，寫出b的取值范圍（不需要書寫推證過程）．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=xe^x，
∴f′（x）=（x+1）e^x，
∴曲線f（x）在點（x₀，x₀e^x₀）處的切線的斜率k=f′（x₀）=（x₀+1）e^x₀，
由點斜式寫出切線方程為y-x₀e^x₀=（x₀+1）e^x₀（x-x₀），即y=（x₀+1）e^x₀x-x₀²e^x0．
（Ⅱ）（1）如果切線過點（a，b），則存在x₀，使b=（x₀+1）e^x₀a-x₀²e^x0．
于是，若過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b=0有三個相異的實數(shù)根．
記g（x₀）=（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b，則g'（x₀）=[x₀²+（2-a）x₀-2a]e^x₀，
令g'（x₀）=0，解得x₀=-2，或x₀=a∈（-2，0）
當x₀∈（-∞，-2），（a，+∞）時g'（x₀）＞0，
當x₀∈（-2，a）時g'（x₀）＜0，
∴當x₀=-2時，g（x₀）取極大值，當x₀=a時，g（x₀）取極小值，
如果過（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，即g（x₀）=0有三個相異的實數(shù)根，則

g(-2)＞0 g(a)＜0

即

(4+a)e-2+b＞0 -aea+b＜0

，則

b＞- 1 e2 (a+4) b＜aea=f(a)

，
即-

1

e2

（a+4）＜b＜f（a）；
（2）令g'（x₀）=0，解得x₀=-2，或x₀=a∈（-∞，-2）
當x₀∈（-∞，a），（-2，+∞）時g'（x₀）＞0，
當x₀∈（a，-2）時g'（x₀）＜0，
∴當x₀=a時，g（x₀）取極大值，當x₀=-2時，g（x₀）取極小值，
如果過（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，即g（x₀）=0有三個相異的實數(shù)根，則

g(-2)＜0 g(a)＞0

即f（a）＜b＜-

1

e2

（a+4）．