Question

設

a

=(sin2

π+2x

4

，cosx+sinx)，

b

=(4sinx，cosx-sinx)，f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知常數ω＞0，若y=f（ωx）在區間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數，求ω的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積，結合二倍角的正弦函數余弦函數以及兩角和與差的三角函數，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，即可得到函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）通過ω＞0，求出y=f（ωx）的單調增區間，利用函數在區間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數，列出ω的方程組，即可求ω的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

=sin2

π+2x

4

•4sinx+(cosx+sinx)•(cosx-sinx)
=

1-cos2( π+2x 4 )

2

•4sinx+cos2x-sin2x
=2[1-cos(

π

2

+x)]•sinx+cos2-sin2x 
=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x
=2sinx+2sin²x+1-2sin²x=2sinx+1
所以f（x）=2sinx+1．
（Ⅱ）f（ωx）=2sinωx+1
根據正弦函數的單調性：2kπ-

π

2

≤ωx≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
解得f（x）的單增區間為[-

π

2ω

，

π

2ω

]．
又由已知f（x）的單增區間為[-

π

2

，

2π

3

]
所以有[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]．
即 

- π 2ω ≤- π 2 π 2ω ≥ 2π 3

解得ω≤

3

4

．
所以ω的取值范圍是(0，

3π

4

]．

點評：本題考查二倍角的三角函數以及兩角和與差的三角函數，正弦函數的單調性的應用，考查計算能力．