Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足f（x+2）=-f（x）；又當0≤x≤1時，f(x)=

1

2

x，則方程f(x)=-

1

2

的解集為

 

．

Answer 1

分析：先根據f（x）是奇函數且f（x+2）=-f（x）求出函數的周期性，以及-1≤x≤0時的解析式，然后求出在[-1，1]上滿足方程f(x)=-

1

2

的解，最后根據周期性即可求出所求．

解答：解：∵f（x）是奇函數且f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）則T=4
∵當0≤x≤1時，f(x)=

1

2

x，f（x）是奇函數
∴當-1≤x≤0時，f(x)=

1

2

x，
令

1

2

x=-

1

2

解得：x=-1
而函數f（x）是以4為周期的周期函數
∴方程f(x)=-

1

2

的解集為{x|x=4k-1，k∈Z}
故答案為：{x|x=4k-1，k∈Z}

點評：本題主要考查函數的奇偶性和遞推關系，這類題往往是奇偶性和周期性結合來轉化求值區間，屬于基礎題．