Question

已知雙曲線過點（3，-2），且與橢圓4x²+9y²=36有相同的焦點．
（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；    
（Ⅱ）求以雙曲線的右準線為準線的拋物線的標準方程．

Answer 1

分析：（I）先求出橢圓的焦點坐標，再根據雙曲線的定理求出a，b，c，從而求出雙曲線的方程；
（II）由（1）得雙曲線的右準線方程，從而求出p，這樣就可求出拋物線的標準方程．

解答：解：（I）由橢圓方程得焦點F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)，…（2分）
由條件可知，雙曲線過點（3，-2）
根據雙曲線定義，2a=|

(3+ 5 )2+22

-

(3- 5 )2+22

|=|

18+6 5

-

18+6 5

|=2

15

…（5分）
即得a=

3

，所以b=

2

…（7分）
雙曲線方程為：

x2

3

-

y2

2

=1，…（9分）
（II）由（1）得雙曲線的右準線方程為：x=

3 5

5

…（11分）
∴

p

2

=

3 5

5

…（13分）
從而可得拋物線的標準方程為：y2=-

12 5

5

x…（15分）

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程，在求曲線方程的問題中，巧設方程，減少待定系數，是非常重要的方法技巧．特別是具有公共焦點的兩種曲線，它們的公共點同時具有這兩種曲線的性質，解題時要充分注意．