Question

（2013•重慶）設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A₁B₁和A₂B₂，使|A₁B₁|=|A₂B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A．(

  2 3

  3

  ，2]
• B．[

  2 3

  3

  ，2)
• C．(

  2 3

  3

  ，+∞)
• D．[

  2 3

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：由雙曲線的基本性質(zhì)可知，直線A₁B₁和A₂B₂，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且直線A₁B₁和A₂B₂，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°，否則不滿足題意．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答：解：由雙曲線的基本性質(zhì)對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，這時(shí)只須考慮雙曲線的焦點(diǎn)在x軸的情形．
因?yàn)橛星抑挥幸粚?duì)相較于點(diǎn)O、所成的角為60°的直線A₁B₁和A₂B₂，
所以直線A₁B₁和A₂B₂，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且直線A₁B₁和A₂B₂，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°且小于等于60°，否則不滿足題意．
可得

b

a

＞tan30°，即

b2

a2

＞

1

3

，

c2-a2

a2

＞

1

3

，所以e＞

2 3

3

．
同樣地，當(dāng)

b

a

≤tan60°，即

b2

a2

≤3，所以e≤2．
所以雙曲線的離心率的范圍是(

2 3

3

，2]．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．