Question

若（2x+4）²⁰¹⁰=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰，則a+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余數是多少？

Answer 1

【答案】分析：根據題意，給自變量x賦值，取x=1和x=-1，兩個式子相加，得到a+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀的值，整理出可以看出能不能被3除的結果，得到余數．
解答：解：在已知等式中
取x=1得a+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=6²⁰¹⁰，
取x=-1得a-a₁+a₂-…+a₂₀₁₀=2²⁰¹⁰，
兩式相加得2（a+a₂+…+a₂₀₁₀）=6²⁰¹⁰+2²⁰¹⁰，
即a+a₂+…+a₂₀₁₀=×（6²⁰¹⁰+2²⁰¹⁰）=×6²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹．…（6分）
注意到×6²⁰¹⁰能被3整除；…（8分）
2²⁰⁰⁹=2×（2²）¹⁰⁰⁴=2×（3+1）¹⁰⁰⁴=2×（3¹⁰⁰⁴+C₁₀₀₄¹•3¹⁰⁰³+…+C₁₀₀₄¹⁰⁰³•3+1），
被3除的余數是2，因此a+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余數是2．…（12分）
點評：本題考查二項式定理的應用和帶余除法，本題解題的關鍵是利用二項式定理利用賦值的方法得到式子的結果，本題是一個基礎題．