Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側棱PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，E、F、H分別是線段PA、PD、AB的中點．
（1）求證：PD⊥平面AHF；
（2）求證：平面PBC∥平面EFH．

Answer 1

證明：（1）因為AP=AD，且F為PD的中點，所以PD⊥AF．
因為PA⊥平面ABCD，且AH?平面ABCD，所以AH⊥PA；
因為ABCD為正方形，所以AH⊥AD；
又PA∩AD=A，所以AH⊥平面PAD．
因為PD?平面PAD，所以AH⊥PD．
又AH∩AF=A，所以PD⊥平面AHF．
（2）因為E、H分別是線段PA、AB的中點，所以EH∥PB．
又PB?平面PBC，EH?平面PBC，所以EH∥平面PBC．
因為E、F分別是線段PA、PD的中點，所以EF∥AD，
因為ABCD為正方形，所以AD∥BC，所以EF∥BC，
又BC?平面PBC，EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC．
因為EF∩EH=E，且EF?平面EFH，EH?平面EFH，所以平面PBC∥平面EFH．