Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x-3

x

，g(x)=lnx．
（1）試判斷當(dāng)x＞0，g（x）與f（x）的大小關(guān)系；
（2）求證：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）；
（3）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)y=g（x）的圖象上的兩點(diǎn)，且g′（x₀）=

y1-y2

x2-x1

（其中g(shù)′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：x₀∈（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（1）欲求g（x）與f（x）的大小關(guān)系只需判斷F（x）=g（x）-f（x）的正負(fù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F（x）的最小值，使最小值與0比較即可；
（2）由（1）知ln(x+1)＞2-

3

x+1

＞2-

3

x

(x＞-1) 令x=n（n+1）（n∈N^*），則ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

，從而可證得結(jié)論；
（3）根據(jù)g′(x0)=

1

x0

，于是

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，然后證明x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

，等價(jià)于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，令h（x）=xlnx₂-xlnx₁-x₂+x，利用導(dǎo)數(shù)研究最小值與0比較，對(duì)于x2＞

x2-x1

lnx2-lnx1

 同理可證，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)F（x）=g（x）-f（x）（x＞0）
則F′（x）=

1

x

-

3

x2

由F′（x）=0得x=3
當(dāng)0＜x＜3時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；當(dāng)x＞3時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0
∴x=3時(shí)，F(xiàn)（x） 取得最小值為F（3）=ln3-1＞0 
∴F′（x）＞0即g（x）＞f（x） …（5分）
（2）證明：由（1）知ln(x+1)＞2-

3

x+1

＞2-

3

x

(x＞-1) 
令x=n（n+1）（n∈N^*），則ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

 …（7分）
∴l(xiāng)n（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2-

3

1•2

）+（2-

3

2•3

）+…+[2-

3

n(n+1)

]
=2n-3[

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

]
=2n-3（1-

1

n+1

）＞2n-3
∴（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3…（10分）
（3）證明：g′(x0)=

1

x0

，于是

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，
以下證明x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

 
等價(jià)于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0．
令h（x）=xlnx₂-xlnx₁-x₂+x …（12分）
則h'（x）=lnx₂-lnx₁，在(0，

x

2

] 上，h'（x）＞0 
所以h（x）在（0，x₂]上為增函數(shù)
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)h（x₁）＜h（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0 
從而x₀＞x₁，得到證明．對(duì)于x2＞

x2-x1

lnx2-lnx1

 同理可證．
所以x₀∈（x₁，x₂）．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，以及考查計(jì)算能力，屬于難題．