Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知是橢圓的內(nèi)接三角形，若坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心，求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意結(jié)合橢圓性質(zhì)可得，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上即可得解；

（2）設(shè)，記線(xiàn)段中點(diǎn)為，由重心的性質(zhì)可得點(diǎn)，按照、分類(lèi)，結(jié)合點(diǎn)差法、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可得，即可得解.

（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，所以，

因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以.

解得，

故橢圓的方程為；

（2）設(shè)，記線(xiàn)段中點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>為的重心，所以，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

若，則，此時(shí)直線(xiàn)與軸垂直，

故原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，即為1；

若，此時(shí)直線(xiàn)的斜率存在，

設(shè)，則，

又，兩式相減得，

可得.

故直線(xiàn)的方程為即，

則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

將代入得，

因?yàn)?/span>，所以；

又，故原點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為.