Question

【題目】已知函數是定義域為的奇函數，且在上單調遞增.

（1）求證：在上單調遞增；

（2）若不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）任取x1、x2∈[2，0]且x1<x2，則0≤x2<x1≤2，根據奇函數的性質、f（x）的單調性判斷出f（x1）<f（x2），由函數單調性的定義即可證明；

（2）由（1）和題意判斷f（x）在[2，2]上的單調性，根據單調性、定義域、對數的性質列出不等式組，由對數函數的性質求出實數m的取值范圍．

(1)證明：任取x1、x2∈[2,0],且2≤x1<x2≤0，

則0≤x2<x1≤2，

∵f(x)在[0,2]上單調遞增,且f(x)為奇函數，

∴f(x2)<f(x1),則f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在[2,0]上單調遞增；

(2)由(1)和題意知：f(x)在[2,2]上單調遞增，

∴不等式化為：

,

解得，

∴實數m的取值范圍是.