Question

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為 ， 焦距為2 ， 過點D（1，0）且不過點E（2，1）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若AB垂直于x軸，求直線MB的斜率。

Answer 1

【答案】解：（1）由題意可得2c=2，即c=，
又e==，解得a=，
b==1，
即有橢圓的方程為+y2=1；
（2）由直線l過D（1，0）且垂直于x軸，設A（1，y1），B（1，﹣y1），
AE的方程為y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3可得M（3，2﹣y1），
即有BM的斜率為k==1
【解析】（1）由已知條件先求出橢圓C的半焦距，再由離心率公式和a，b，c的關系可得a，b，由此能求出橢圓C的標準方程；
（2）由直線l過D（1，0）且垂直于x軸，設A（1，y1），B（1，﹣y1），求得AE的方程，求得M的坐標，再由直線的斜率公式計算即可得到所求值.