Question

如圖，兩條過原點O的直線l₁，l₂分別與x軸、y軸成30°的角，已知線段PQ的長度為2，且點P（x₁，y₁）在直線l₁上運動，點Q（x₂，y₂）在直線l₂上運動．
（Ⅰ）求動點M（x₁，x₂）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設過定點T（0，2）的直線l與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意可知直線l₁⊥l₂，進而可求得兩直線的方程，設出P，Q點的坐標分別代入直線方程，根據|PQ|=2求得則動點M的軌跡方程可得．
（Ⅱ）設出直線l的方程，帶代入橢圓方程消去y，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用判別式求得k的范圍，進而根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂根據∵∠AOB為銳角，判斷出，求得k的范圍，最后綜合取交集求得k的范圍．
解答：解：（Ⅰ）由已知得直線l₁⊥l₂，l₁：，l₂：
∵P（x₁，y₁）在直線l₁上運動，Q（x₂，y₂）直線l₂上運動，
∴，，
由|PQ|=2得（x₁²+y₁²）+（x₂²+y₂²）=4，
即，⇒，
∴動點M（x₁，x₂）的軌跡C的方程為．

（Ⅱ）直線l方程為y=kx+2，將其代入，
化簡得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∴△=（12k）²-36×（1+3k²）＞0，⇒k²＞1，
且，
∵∠AOB為銳角，∴，
即x₁x₂+y₁y₂＞0，⇒x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0．
將代入上式，
化簡得，．
由k²＞1且，得．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點，考查了基礎知識的綜合運用．