Question

已知過點A（4，6）的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點為F（4，0），直線l過點F且與雙曲線右支交于點M、N，點B為雙曲線右準線與x軸的交點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若△BMN的面積為36

5

，求直線l的方程；
（3）若點P為點M關于x軸的對稱點，求證：B、P、N三點共線．

Answer 1

分析：（1）把點A代入雙曲線方程求得a和b的關系，進而根據焦點坐標求得c，可知a和b的另一關系式，聯立求得a和b，則雙曲線的方程可得．
（2）設直線方程，與雙曲線方程聯立消去x，設出M，N的坐標，根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進而根據直線l與雙曲線右支相交，
判斷出x₁x₂＜0求得t的范圍，進而利用三角形面積公式表示出△BMN的面積求得t，則直線l的方程可得．
（3）根據點M的坐標表示出點P的坐標，進而分別表示出

BP

和

BN

，進而求得

BP

-

BN

=0，判斷出

BP

和

BN

共線，進而推斷出B，P，N三點共線．

解答：解：（1）由題意得

16 a2 - 36 b2 =1 a2+b2=16

，求得a=2，b=2

3

∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1

（2）設直線的方程為x=ty+4，
由

x=ty+4 x2 4 - y2 12 =1

消去x得（3t²-1）y²+24ty+36=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=

-24t

3t2-1

，y₁y₂=

36

3t2-1

∵直線l與雙曲線右支相交，
∴x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²•

36

3t2-1

+4t•

-24t

3t2-1

+16＞0
∴

3t 2+4

3t2-1

＜0，t²＜

1

3

∴S_△BMN=

1

2

•|BF|•|y₁-y₂|=

18 1+t2

|3t2-1|

=36

5

∴t²=

19

45

或

1

4

，∵t²＜

1

3

，∴t=±

1

2

∴直線l的方程為2x+y-8=0或2x-y-8=0

（3）∵點P為點M關于x軸的對稱點，則p（x₁，-y₁），
∴

BP

=（x₁-1，-y₁），

BN

=（x₁，-y₁），
∵（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=2t•

36

3t2-1

+3•

-24t

3t2-1

=0
∴

BP

與

BN

共線，
∴B，P，N三點共線．

點評：本土主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．