Question

（本小題滿分12分）

如圖，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1,PD與平面

ABCD所成的角是30⁰，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動。

（1）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；

（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有AF⊥PE；

（3）求當BE的長為多少時，二面角P-DE-A的大小為45⁰。

Answer 1

解：（1）平行

        因為EF//PC,EF平面PAC,PC平面PAC,所以EF//平面PAC    ————4

       （2）PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD

            PA⊥BE,又BE⊥AB,ABAP=A,所以BE⊥平面PAB.

            又AF平面PAB ,所以AF⊥BE.

           又PA=AB=1,點F是PB的中點，所以AF⊥PB     ————6

           又因為PBBE=B,所以AF⊥平面PBE

           因為PE平面PBE,所以AF⊥PE       ————8

      （3）過A作AG⊥DE于G,連結PG,又DE⊥PA,則DE⊥平面PAG.

           則∠PGA是二面角P-DE-A的平面角

          所以∠PGA=      ————10

          解得BE=      ————12