Question

已知二項式(

x

-

1

3 x

)n展開式中的常數項等于拋物線y=x²+2x在P（m，24）處的切線（P點為切點）的斜率，則(

x

-

1

3 x

)n展開式中系數最大的項的項數是（　　）

A．3和4

B．3

C．4

D．4和5

Answer 1

分析：把點P的坐標代入拋物線方程求得m=-6，或 m=4，再由導數的幾何意義可得二項式(

x

-

1

3 x

)n展開式中的常數項等于-10或10．再根據二項式的展開式通項公式可得 n=5，
由此求得 (

x

-

1

3 x

)n=(

x

-

1

3 x

)5 展開式中系數最大的項的項數．

解答：解：把點P的坐標代入拋物線方程可得 24=m²+2m，求得m=-6，或 m=4，
故拋物線y=x²+2x在P（m，24）處的切線（P點為切點）的斜率為2m+2=-10，或10．
故二項式(

x

-

1

3 x

)n展開式中的常數項等于-10或10．
二項式的展開式通項公式為 T_r+1=

C

r n

•x

n-r

2

•（-1）^r•x-

r

3

=（-1）^r•

C

r n

•x

3n-5r

6

，
令3n-5r=0，r=

3n

5

，再由r為自然數，（-1）^r•

C

r n

=±10，可得 n=5．
故 (

x

-

1

3 x

)n=(

x

-

1

3 x

)5 展開式中系數最大的項為 （-1）²•

C

2 5

•x

15-10

6

，故(

x

-

1

3 x

)n展開式中系數最大的項的項數是3，
故選B．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．