Question

已知數列{a_n}是正數組成的數列，其前n項和為S_n，對于一切n∈N^*均有a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項．
（1）計算a₁，a₂，a₃，并由此猜想{a_n}的通項公式a_n；（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想．

Answer 1

（1）由

an+2

2

=

2Sn

得Sn=

(an+2)2

8

可求得a₁=2，a₂=6，a₃=10，…（5分）
由此猜想{a_n}的通項公式a_n=4n-2（n∈N₊）．…（7分）
（2）證明：①當n=1時，a₁=2，等式成立；…（9分）
②假設當n=k時，等式成立，即a_k=4k-2，…（11分）
∴ak+1=Sk+1-Sk=

(ak+1+2)2

8

-

(ak+2)2

8

∴（a_k+1+a_k）（a_k+1-a_k-4）=0，又a_k+1+a_k≠0
∴a_k+1-a_k-4=0，
∴a_k+1=a_k+4=4k-2+4=4（k+1）-2
∴當n=k+1時，等式也成立．…（13分）
由①②可得a_n=4n-2（n∈N₊）成立．…（15分）