Question

設f（x）為定義在R上的增函數，令g（x）=f（x）-f（2008-x）
（1）求證：g（x）+g（2008-x）是定值．
（2）判斷g（x）在R上的單調性；并證明．
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求證：x₁+x₂＞2008．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=f（x）-f（2008-x），得g（2008-x）的解析式，從而計算g（x）+g（2008-x）的值．
（2）由函數的單調性定義可以判定和證明g（x）的單調性．
（3）由（1）得 g（x₁）+g（x₂）=g（x₁）-g（2008-x₂）＞0，得g（x₁）＞g（2008-x₂）；根據g（x）的單調性證得結論．

解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-f（2008-x），
∴g（2008-x）=f（2008-x）-f（x），
∴g（x）+g（2008-x）=f（x）-f（2008-x）+f（2008-x）-f（x）=0，是定值．
（2）證明：在R上任取實數x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=f（x₁）-f（2008-x₁）-f（x₂）+f（2008-x₂）
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2008-x₂）-f（2008-x₁）]．
由題設知2008-x₂＜2008-x₁，又f（x）是R上的增函數，
∴f（x₁）＜f（x₂），f（2008-x₂）＜f（2008-x₁），
即g（x₁）-g（x₂）＜0，
∴g（x）在R上是單調遞增函數．
（3）由（1）知 g（x）+g（2008-x）=0，
∴g（x₂）=-g（2008-x₂），
∴g（x₁）+g（x₂）=g（x₁）-g（2008-x₂）＞0，
即g（x₁）＞g（2008-x₂），
又g（x）在R上是單調遞增函數，
∴x₁＞2008-x₂，
即 x₁+x₂＞2008．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，以及函數與不等式的應用問題，是中檔題．