Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），f（x）=a^xg（x），（a＞0，且a≠1，

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，在有窮數列{

f(n)

g(n)

}(n=1，2，1，10)中，任意取正整數k（1≤k≤10），則前k項和大于

15

16

的概率是

3

5

．

Answer 1

分析：令h(x)=

f(x)

g(x)

，由題意可知0＜a＜1，由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，可知求出a的值，由此可知S_n的表達式，由1-(

1

2

)n＞

15

16

，得n的取值范圍，由此能夠求出前k項和大于

15

16

的概率．

解答：解：令h(x)=

f(x)

g(x)

，
則h′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，
故h（x）=a^x單調遞減，
所以0＜a＜1，
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a+

1

a

=

5

2

，
解得a=

1

2

，
則

f(n)

g(n)

=(

1

2

)n，
其前n項和Sn=1-(

1

2

)n，
由1-(

1

2

)n＞

15

16

，得n＞4，
故所求概率P=

6

10

=

3

5

．
故答案為：

3

5

點評：本題主要考查了概率的求法和導數的性質，考查推理論證能力，以及化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性，屬于中檔題．