Question

如圖，AB是圓柱體OO′的一條母線，BC過底面圓的圓心O，D是圓O上不與點B，C重合的任意一點，已知棱AB=5，BC=5，CD=3．
（1）求直線AC與平面ABD所成的角的大小；
（2）將四面體ABCD繞母線AB轉動一周，求△ACD的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）欲求直線AC與平面ABD所成的角，先證出CD⊥平面ABD，從而得出∠CAD為直線AC與平面ABD所成的角，最后在Rt△ADC中，求解即可；
（2）由題意可知，所求體積是兩個圓錐體的體積之差，只須分別求出這兩個錐體的體積后求它們的差即得．

解答：解：（1）因為點D以BC徑的圓上，所以BD⊥DC（2分）
因為AB⊥平面BDC，DC?平面BDC，所以AB⊥DC，
從而有CD⊥平面ABD（4分）
所以∠CAD為直線AC與平面ABD所成的角，在Rt△ADC中，sin∠CAD=

CD

AC

=

3

50

=

3 2

10

，所以∠CAD=arcsin

3 2

10

，
即直線AC與平面ABD所成的角為arcsin

3 2

10

．（6分）
（2）由題意可知，所求體積是兩個圓錐體的體積之差，
V=V圓錐ABC-V圓錐ABD=

1

3

π?52?5-

1

3

π?42?5=

125π

3

-

80π

3

=15π
故所求體積為15π（14分）

點評：本題主要考查了直線與平面之間所成角、棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．