Question

選修4-2　矩陣與變換
已知M=

1 -2 -2 1

，α=

3 1

，試計算M²⁰α．

Answer 1

分析：根據矩陣M的特征多項式的零點求得兩個特征值分別為3和-1，然后根據特征向量的定義，分別求出M屬于λ₁=3的特征向量

a

和M屬于λ₂=-1的特征向量

b

，將

α

表示成

a

、

b

的線性組合，最后利用矩陣乘法的性質結合特征向量的含義，可算出M²⁰α的值．

解答：解：矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）²-4
令f（λ）=0，得λ₁=3，λ₂=-1，
設M屬于λ₁=3的特征向量為

a

=

x y

，則M

a

=λ₁

a

即

1 -2 -2 1

•

x y

=

x-2y -2x+y

=

3x 3y

所以

x-2y=3x -2x+y=3y

，即x=-y，
令x=1，y=-1，得M屬于λ₁=3的特征向量為

a

=

1 -1

同理求得M屬于λ₂=-1的特征向量為

b

=

1 1

設α=

3 1

=λ

a

+μ

b

=

λ+μ -λ+μ

，解之得λ=1，μ=2
∴α=

1 -1

+2

1 1

，
所以M20α=320

1 -1

+2(-1)20

1 1

=

320+2 -320+2

點評：本題用矩陣的特征向量來計算矩陣的乘方運算和矩陣與向量相乘的運算，考查了的乘法運算和特征值與特征向量的計算等知識點，屬于基礎題．