Question

設（

2

-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，求（a₀+a₂+…+a₁₀）²（a₁+a₃+…+a₉）²的值．

Answer 1

分析：令x=1可得：a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=(

2

-1)10，再令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈-a₉+a₁₀=(

2

+1)10．求得 a₀+a₂+…+a₁₀ 和a₁+a₃+…+a₉ 的值，
可得 （a₀+a₂+…+a₁₀）²和（a₁+a₃+…+a₉）² 的值，從而求得（a₀+a₂+…+a₁₀）²（a₁+a₂+…+a₉）²的值．

解答：解：令x=1可得：a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=(

2

-1)10，再令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈-a₉+a₁₀=(

2

+1)10．
由以上兩式可得 a₀+a₂+…+a₁₀ =

( 2 -1)10+( 2 +1) 10

2

，a₁+a₃+…+a₉=

( 2 -1)10-( 2 +1) 10

2

，
∴（a₀+a₂+…+a₁₀）² =

( 2 -1)20+( 2 +1) 20+2

4

，（a₁+a₃…+a₉）²=

( 2 -1)20+( 2 +1) 20-2

4

，
∴（a₀+a₂+…+a₁₀）²（a₁+a₃+…+a₉）² =

( 2 -1)20+( 2 +1) 20+2

4

-

( 2 -1)20+( 2 +1) 20-2

4

=1．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．