Question

已知(x2-

1

x

)n展開式中的二項式系數的和比（3a+2b）⁷展開式的二項式系數的和大128，求(x2-

1

x

)n展開式中的系數最大的項和系數最小的項．

Answer 1

分析：先由條件求出n=8，再求出二項式展開式的通項公式，再由二項式系數的性質求得當r為何值時，展開式的系數最大或最小，從而求得展開式中的系數最大的項和系數最小的項．

解答：解：由題意可得 2ⁿ-2⁷=128，解得n=8．
故 (x2-

1

x

)n=(x2-

1

x

)8 展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 8

•x^16-2r•（-1）^r•x^-r=（-1）^r•

C

r 8

•x^16-3r．
由二項式系數的性質可得，當r=4時，(x2-

1

x

)n展開式中的系數最大，為T₅=

C

4 8

•x⁴=70x⁴；
當r=3或5時，(x2-

1

x

)n展開式中的系數最小，為 T₄=-

C

3 8

•x⁷=-56x⁷，或 T₆=-

C

5 8

•x=-56x．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．