Question

【題目】已知拋物線的焦點為，準線的方程為.若三角形的三個頂點都在拋物線上，且，則稱該三角形為“向心三角形”.

（1）是否存在“向心三角形”，其中兩個頂點的坐標分別為和？說明理由；

（2）設“向心三角形”的一邊所在直線的斜率為，求直線的方程；

（3）已知三角形是“向心三角形”，證明：點的橫坐標小于.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由詳見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由題意可知，點為的重心，假設存在一點使得“向心三角形”存在，求得該點的坐標，代入拋物線的方程，進行判斷即可；

（2）設點、、，利用點差法求得，根據重心的坐標公式，求出線段的中點坐標，然后利用點斜式方程可得出直線的方程；

（3）由，等式兩邊平方，利用基本不等式可得出，結合等式可求出，進而證明結論成立.

（1）由題意可知，拋物線的標準方程為，

由，可知，為重心，

設存在點“向心三角形”，其中兩個頂點的坐標分別為和，另外的頂點為，

由，解得：，顯然，

故不存在“向心三角形”，其中兩個頂點的坐標分別為和；

（2）設、、，

由，兩式相減，得，所以，所以，

由題意可知，，所以，則，

由，所以，所以，線段的中點，

因此，直線的方程為，整理得.

因此，直線的方程；

（3）由（2）可知，則，①

由，，

平方可得，當且僅當時取等號，顯然，

所以，即，

將①代入可得，解得，

所以點的橫坐標小于.