Question

在△ABC中，若sin²A=sinB•sinC且（b+c+a）（b+c-a）=3bc，則該三角形的形狀是（　　）

• A、直角三角形
• B、鈍角三角形
• C、等腰三角形
• D、等邊三角形

Answer 1

分析：根據條件應用正弦定理、余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，故A=60°，B+C=120°，cos（B-C）=1，從而得到
B=C=60°，故三角形是等邊三角形．

解答：解：若sin²A=sinB•sinC，則a²=bc．  
又 （b+c+a）（b+c-a）=3bc，∴b²+c²-a²=bc，
又 cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴A=60°，B+C=120°．
再由sin²A=sinB•sinC，可得

3

4

=

1

2

[cos（B-C）-cos（B+C）]=

1

2

cos（B-C）+

1

4

，
∴cos（B-C ）=1．  又-π＜B-C＜π，∴B-C=0，∴B=C=60°，故該三角形的形狀是等邊三角形，
故選D．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理的應用，根據三角函數的值求角，求得A=60°，及cos（B-C ）=1，是解題的關鍵．