Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，且為等腰直角三角形，，、分別為、的中點.

（1）求證：//平面 ；
（2）若線段中點為,求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)證明見解析（2）

試題分析：（1）要證//平面,可證明與平面內(nèi)的一條直線平行,邊結(jié)由中位線定理得這條直線就是.（2）以中點為原點建立空間直角坐標(biāo)系, 由側(cè)面底面可得為平面的法向量，寫出各點坐標(biāo)與平面內(nèi)兩條直線所在直線的方向向量從而可求出平面的法向量,求二面角的余弦值可用向量法.
試題解析：（1）證明：連接，
因為是正方形，為的中點，所以過點，且也是 的中點，
因為是的中點，所以中，是中位線，所以 ,
因為平面，平面，所以平面,
（2）取的中點，建如圖坐標(biāo)系，則相應(yīng)點的坐標(biāo)分別為 
所以
因為側(cè)面底面，為平面的法向量，

設(shè) 為平面的法向量，
則由∴
∴
設(shè)二面角的大小,則為銳角，
則．
即二面角的余弦值為．