Question

若f(x)＝x²－x＋b，且f(log₂a)＝b，log₂f(a)＝2(a≠1)．

(1)求f(log₂x)的最小值及對應的x值；

(2)x取何值時，f(log₂x)>f(1)，且log₂f(x)<f(1)．

Answer 1

解析　(1)∵f(x)＝x²－x＋b，

∴f(log₂a)＝(log₂a)²－log₂a＋b.

由已知(log₂a)²－log₂a＋b＝b，∴log₂a(log₂a－1)＝0.

∵a≠1，∴log₂a＝1，∴a＝2.

又log₂f(a)＝2，∴f(a)＝4.

∴a²－a＋b＝4，∴b＝4－a²＋a＝2.故f(x)＝x²－x＋2.

從而f(log₂x)＝(log₂x)²－log₂x＋2＝(log₂x－)²＋.

∴當log₂x＝，即x＝時，f(log₂x)有最小值.

(2)由題意⇒

⇒0<x<1.