Question

已知函數f（x）=

x-1

x

（1）指出f（x）的單調區間；
（2）若F（x）=

f(x)，(x≥1) g(x)，(x＜1)

，寫出一個二次函數g（x），使得F（x）是增函數；
（3）若f（2^x+1）＜3m-1對任意x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f（x）化為f（x）=1-

1

x

，結合反比例函數圖象與性質得出單調區間
（2）二次函數g（x）滿足在x＜1上單調遞增，且g（x）≤f（1）=0即可．
（3）若f（2^x+1）＜3m-1對任意x∈R恒成立，只需f（2^x+1）max＜3m-1即可

解答：解：（1）f(x)=

x-1

x

=1-

1

x

，（x≠0），其單調增區間是（-∞，0），（0，+∞）
（2）若F（x）是增函數，由（1）f（x）在[1，+∞）上單調遞增，所以需g（x）滿足在x＜1上單調遞增，且g（x）≤f（1）=0，
滿足條件的一個二次函數g（x），可以是g（x）=（x-1）²
（3）若f（2^x+1）＜3m-1對任意x∈R恒成立，只需f（2^x+1）max＜3m-1即可．
f（2^x+1）=

2x

2x+1

=1-

1

2x+1

＜1，所以3m-1≥1，解得m≥

2

3

所以m的取值范圍是[

2

3

，+∞）

點評：本題考查函數的性質，函數與不等式，考查推理論證，運算求解能力．