Question

（本小題14分）
線的斜率是－5。
（Ⅰ）求實數b、c的值；
（Ⅱ）求f(x)在區間[－1,2]上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數a，曲線y＝f(x)上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

Answer 1

解:(1)當x<1時，f(x)＝－x³＋x²＋bx＋c，則f′(x)＝－3x²＋2x＋b.
令f′(x)＝0得x＝0或x＝.當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

又f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，∴f(x)在[－1,1)上的最大值為2.
②當1≤x≤2時，f(x)＝aln x.當a≤0時，f(x)≤0，∴f(x)的最大值為0；
當a>0時，f(x)在[1,2]上單調遞增，∴f(x)在[1,2]上的最大值為aln 2.
綜上所述，當aln 2≤2，即a≤時，f(x)在[－1,2]上的最大值為2；
當aln 2>2，即a>時，f(x)在[－1,2]上的最大值為aln 2.
(3)假設曲線y＝f(x)上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸的兩側
不妨設P(t，f(t))(t>0)，則Q(－t，t³＋t²)，顯然t≠1.
∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，
∴O·O＝0，即－t²＋f(t)(t³＋t²)＝0.　　①
若方程①有解，則存在滿足題意的兩點P、Q；若方程①無解，則不存在滿足題意的兩點P、Q.若0<t<1，則f(t)＝－t³＋t²，代入①式得，
－t²＋(－t³＋t²)(t³＋t²)＝0，即t⁴－t²＋1＝0，而此方程無實數解，因此t>1.
此時f(t)＝aln t，代入①式得，－t²＋(aln t)(t³＋t²)＝0，即＝(t＋1)ln t．　　
②令h(x)＝(x＋1)ln x(x≥1)，則h′(x)＝ln x＋＋1>0，
∴h(x)在[1，＋∞)上單調遞增，∵t>1，∴h(t)>h(1)＝0，
當t→＋∞時，h(t)→＋∞，∴h(t)的取值范圍為(0，＋∞)．
∴對于a>0，方程②總有解，即方程①總有解．
因此對任意給定的正實數a，曲線y＝f(x)上總存在兩點P、Q，使得△POQ是以點O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上

略