Question

【題目】數列的各項均為整數，滿足：，且，其中．

（1）若，寫出所有滿足條件的數列；

（2）求的值；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）；；；；（2）;（3）證明見解析．

【解析】

(1)根據得并結合已知條件即可寫出滿足條件的數列；

(2) ，利用反證法即可證出；

(3)先利用反證法證明，必有，然后對此不等式中賦，可得個不等式并將其累加，再利用等比數列求和公式化簡后，再結合已知即可證得結果．

(1)當時，，又，，

故滿足條件的數列為：；；；．

(2)．

否則，假設，因為，所以．又，因此有

，

這與矛盾，

所以．

(3)先證明如下結論：，必有．

否則，假設，

注意左式是的的整數倍，因此，

所以有

這與矛盾．

所以．

因此有

，

，

，

……

，

……

，

將上述個不等式相加得

，①

又，②

②－①得．