Question

【題目】已知函數（，）的周期為，圖象的一個對稱中心為，將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象.

（1）求函數與的解析式；

（2）求證：存在，使得，，能按照某種順序成等差數列.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）證明見解析

【解析】

（1）由周期公式可得，，再由對稱中心可得值，可得解析式，由函數圖象變換和誘導公式化簡可得；

（2）當時，問題轉化為方程在內是否有解，由函數零點的存在性定理可得.

解：（1）函數的周期為，，

，

又曲線的一個對稱中心為，，

，可得，，

將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得的圖象，

再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，

由誘導公式化簡可得；

（2）當時，，，

，

問題轉化為方程在內是否有解.

設，，

，，且函數的圖象連續不斷，

函數在內存在零點，

即存在，使得，，能按照某種順序成等差數列.