Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{c_n}滿足cn=

1

log2( an n+1 )+3

(n∈N*)，T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若對一切n∈N^*不等式4mT_n＞c_n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用遞推關系an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求求數列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）可得a_n=（n+1）•2ⁿ，代入可求Cn=

1

n+3

，Cn+1•Cn=

1

(n+3)(n+4)

，利用裂項求和可得Tn=

n

4(n+4)

，4mT_n＞c_n對一切n∈N^*恒成立，則m＞

(n+4)

n(n+3)

的最大值．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=4（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ?a_n=2a_n-1+2ⁿ（2分）

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
∴{

an

2n

}是首項為2，公差為1的等差數列（3分）

an

2n

=2+n-1?an=(n+1)•2n（5分）
（2）cn=

1

n+3

，cn•cn+1=

1

n+3

•

1

n+4

=

1

n+3

-

1

n+4

（7分）Tn=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+

1

6

-

1

7

++

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

（9分）
4mT_n＞c_n對一切n∈N^*恒成立，則m＞

(n+4)

n(n+3)

（11分）
而

n+4

n(n+3)

=

n+4

n2+3n

=

n+4

(n+4)2-5(n+4)+4

=

1

(n+4)+ 4 n+4 -5

≤

5

4

（13分）
m＞

5

4

（14分）

點評：本題主要考查了利用遞推關系an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及構造等差數列求數列的通項公式，裂項求數列的和，不等式的恒成立問題的轉化求最值，體現了轉化思想的應用．