Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，g（x）=

x+ 1 4x ，x＞0 -x2-6x-8，x≤0

，則方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的根的個數(shù)不可能 為（　　）

• A、3個
• B、4個
• C、5個
• D、6個

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)的解析式，我們易求出f（x）與y=m的交點(diǎn)情況為：當(dāng)a＜-3，或a＞1時，有一個交點(diǎn)；當(dāng)a=-3，或a=1時，有兩個交點(diǎn)；當(dāng)-3＜a＜1時，有三個交點(diǎn)；g（x）與y=a點(diǎn)情況為（x）與y=a的交點(diǎn)情況為：當(dāng)0＜a＜1時有兩個交點(diǎn)，一個在區(qū)間（-4，-3）上，一個在區(qū)間（-3，-2）上；當(dāng)a=1時有兩個交點(diǎn)，一個為-3，一個為

1

2

；當(dāng)a＞1時有兩個交點(diǎn)，一個在區(qū)間（0，

1

2

）上，一個在區(qū)間（

1

2

-，1）上．分類討論后，即可得到方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的根的個數(shù)所有的情況，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，g（x）=

x+ 1 4x ，x＞0 -x2-6x-8，x≤0

，
∴當(dāng)a=1時，若方程g[f（x）]-a=0，則：
f（x）=-3，此時方程有2個根
或f（x）=

1

2

，此時方程有3個根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5個根；
當(dāng)0＜a＜1時，方程g[f（x）]-a=0，則：
f（x）∈（-4，-3），此時方程有1個根
或f（x）∈（-3，-2），此時方程有3個根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4個根；
當(dāng)a＞1時，方程g[f（x）]-a=0，則：
可能有4個、5個或6個根．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中分析內(nèi)外函數(shù)的圖象是解答本題的關(guān)鍵．