Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為，（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的極坐標方程及曲線的直角坐標方程；

（2）已知曲線交于兩點，過點且垂直于的直線與曲線交于兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）. . （2）.

【解析】試題分析：（I）曲線C1的參數方程為（φ為參數），利用平方關系可得普通方程．利用互化公式可得：曲線C1的極坐標方程．曲線C2的極坐標方程為ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，利用互化公式可得：曲線C2的直角坐標方程．

（II）聯立，可得tanθ=2，設點A的極角為θ，則tanθ=2，可得sinθ=，cosθ=，則M，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1．N，代入ρ=sinθ，可得：ρ2．可得：|MN|=ρ1+ρ2．

試題解析：

（1）曲線的參數方程為（為參數），

利用平方關系可得：，化為直角坐標方程.

利用互化公式可得：曲線的極坐標方程為，即.

曲線的極坐標方程為，可得：，可得：曲線的直角坐標方程為.

（2）聯立，可得，設點的極角為，則，可得，，

則，代入，可得：.

，代入，可得：.

可得：.