Question

本題滿分12分)

如圖,在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AC＝3,

BC＝4,,AA₁＝4,.點D是AB的中點．

    (1)求證：AC⊥BC₁；

 (2)求二面角的平面角的正切值.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解答：(1)證明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

,∴AC⊥BC，                   ………2分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC₁ ，又平面BCC₁                      ………4分

∴ AC⊥BC₁                                            ……5分

 

 

(2)解法一:過作于,則E為BC的中點，過E做EF^B₁C于F,連接DF,

    是中點，∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴ , 

∴平面，平面∴

∴是二面角的平面角 ………9分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴在中，，，

∴     ∴二面角的正切值為     

解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系………6分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………8分

設平面的法向量，

則，的夾角（或其補角）的大小就是二面角的大小

則由   令，則，

∴                                    ……………10分

，則  ………11分

∵二面角是銳二面角

∴二面角的正切值為               …………… 12分

 

【解析】略