【題目】已知函數
.
（1）討論
在
上的零點個數；
（2）當
時，若存在
，使
，求實數
的取值范圍.（
為自然對數的底數，其值為2.71828……）
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）構造函數
，先將討論
在
上的零點個數問題，轉化為討論直線
與曲線
的交點個數問題，用導數方法研究函數單調性，求出值域，即可得出結果；
（2）根據（1）的結果，由
求出零點，得到
，再由題意得到
成立，構造函數
，用導數方法研究其單調性，進而可求出結果.
（1）由
得
，令，
因此討論在上的零點個數，即是討論直線與曲線的交點個數，
∵
，
在上恒成立，
故在上單調遞增，
，
又
連續不斷，所以當
時，在上無零點；
當
時，在上存在一個零點.
（2）當時，由（1）得在上存在一個零點，
由
得
，
由（1）可得在
上單調遞減，在
上單調遞增；
所以，
又存在
，使
成立，
所以，只需成立，即
不等式成立，
令，
則
，
易知
在上恒成立，
故在上單調遞增
又
，所以
.
故實數
的取值范圍為.
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司想了解對某產品投入的宣傳費用與該產品的營業額的影響.右圖是以往公司對該產品的宣傳費用
(單位：萬元)和產品營業額
(單位：萬元)的統計折線圖.
(Ⅰ)根據折線圖可以判斷，可用線性回歸模型擬合宣傳費用與產品營業額的關系，請用相關系數加以說明；
(Ⅱ)建立產品營業額關于宣傳費用的回歸方程；
(Ⅲ)若某段時間內產品利潤
與宣傳費和營業額的關系為
應投入宣傳費多少萬元才能使利潤最大，并求最大利潤. (計算結果保留兩位小數)
參考數據：
，
，
，
，
參考公式：相關系數
，回歸方程
中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據以往的經驗，某建筑工程施工期間的降水量
（單位：
）對工期的影響如下表：
降水量 |
|
|
|
|
工期延誤天數 | 0 | 1 | 3 | 6 |
根據某氣象站的資料，某調查小組抄錄了該工程施工地某月前
天的降水量的數據，繪制得到降水量的折線圖，如下圖所示.
（1）求這天的平均降水量；
（2）根據降水量的折線圖，分別估計該工程施工延誤天數
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某支教隊有8名老師，現欲從中隨機選出2名老師參加志愿活動，
（1）若規定選出的至少有一名女老師，則共有18種不同的需安排方案，試求該支教隊男、女老師的人數；
（2）在（1）的條件下，記
為選出的2位老師中女老師的人數，寫出的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商品要了解年廣告費
（單位：萬元）對年利潤
（單位：萬元）的影響，對近4年的年廣告費
和年利潤
數據作了初步整理，得到下面的表格：
廣告費 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年利潤 | 26 | 39 | 49 | 54 |
（Ⅰ）用廣告費作解釋變量，年利潤作預報變量，建立關于的回歸直線方程；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結果預報廣告費用為6萬元時的年利潤.
附：對于一組數據
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在正方體上任意選擇
個頂點，然后將它們兩兩相連，則可能組成的幾何圖形為_________（寫出所有正確結論的編號）.
①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體.
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