Question

已知向量

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=(5-m，-3-m)．
（1）若A，B，C三點共線，求實數m的值；
（2）若∠ABC為銳角，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意求出

AB ， AC

，利用A，B，C三點共線，即可求實數m的值；
（2）求出

BA

，設出

BC

，利用∠ABC為銳角，通過向量的數量積的范圍，求實數m的取值范圍

解答：解：（1）已知向量

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=（5-m，-（3+m））

∵ AB =(3，1)， AC =(2-m，1-m)， 由三點共線知3(1-m)=2-m

∴實數m=

1

2

時，滿足的條件  …（6分）
（2）由題設知

BA

=(-3，-1)，

BC

=（-1-m，-m）
∵∠ABC為銳角，∴

BA

•

BC

=3+3m+m＞0⇒m＞-

3

4

…（12分）
又由（1）可知，當m=

1

2

時，∠ABC=0°
故m∈(-

3

4

，

1

2

)∪ (

1

2

，+∞)…（13分）

點評：本題是中檔題，考查向量的表示方法，向量的數量積的應用，考查計算能力．