Question

設橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過、、三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）;（2）;（3）

【解析】(1)設Q（x₀，0），由（c，0），A（0，b）,知     

，由 ,可知為中點．

從而得到,，進一步計算可求出記心率的值.

（2）由⑴知，可求出△AQF的外接圓圓心為（-，0），半徑r=|FQ|=,

所以再利用圓心到直線l的距離等于半徑a,可得到關于a的方程解出a值，從而得到橢圓C的方程.

(3) 設，平行四邊形是菱形可轉化為, ,

所以,則,然后直線MN與橢圓方程聯立，消y，再借助韋達定理來解決即可.

解：（1）設Q（x₀，0），由（c，0），A（0，b）

知 

，

由于 即為中點．

故，  

故橢圓的離心率             （4 分）

（2）由⑴知得于是（，0） Q，

△AQF的外接圓圓心為（-，0），半徑r=|FQ|=

所以，解得=2，∴c =1，b=， 

所求橢圓方程為           （8 分）

（3）由（Ⅱ）知     ：

  代入得

設，

則，        （10分）

由于菱形對角線垂直，則                  

故       

則

       （12分）

由已知條件知且          

    

故存在滿足題意的點P且的取值范圍是．   （13分）