Question

設F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(

OP

+

OF2

)•

PF2

=0（O 為坐標原點），且2|

PF1

|=3|

PF2

|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  13

• B．2

  13

• C．

  13

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由向量減法法則和數量積的運算性質，可得

|OP|

 =

|OF2|

 =c，從而得到△PF₁F₂是以為F₁F₂斜邊的直角三角形．由此結合2|

PF1

|=3|

PF2

|，運用勾股定理算出|

PF1

|=

6 13

13

c，|

PF2

|=

4 13

13

c，再根據雙曲線的定義得到2a的值，即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：∵

PF2

=

OF2

-

OP

∴(

OP

+

OF2

)•

PF2

=(

OP

+

OF2

)(

OF2

-

OP

)=0，
得

OF2

2-

OP

2=0，所以

|OP|

 =

|OF2|

 =c
∴△PF₁F₂中，邊F₁F₂上的中線等于|F₁F₂|的一半，可得

PF1

⊥

PF2

∵2|

PF1

|=3|

PF2

|，
∴設|

PF1

|=3λ，|

PF2

|=2λ，（λ＞0）
得（3λ）²+（2λ）²=4c²，解得λ=

2 13

13

c
∴|

PF1

|=

6 13

13

c，|

PF2

|=

4 13

13

c
由雙曲線的定義，得2a=||

PF1

|-|

PF2

||=

2 13

13

c
∴雙曲線的離心率為e=

2c

2a

=

13

故選A

點評：本題給出雙曲線上一點P滿足∠F₁PF₂為直角，且兩直角邊之比為

2

3

，求雙曲線的離心率，著重考查了向量的運算和雙曲線的定義與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．