Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數a＞0．
（1）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當a=4時，是否存在實數m，使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f（x）的切線？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；
（3）設定義在D上的函數y=h（x）的圖象在點P（x，h（x））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x時，若在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”．當a=4，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”？若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1），由此能求出f（x）的單調遞增區間．
（2）當a=4時，，其中x＞0，令，方程無解，由此推導出不存在實數m使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f（x）的切線．
（3）當a=4時，函數y=f（x）在其圖象上一點P（x，f（x））處的切線方程為．由此能推導出y=f（x）存在“類對稱點”，是一個“類對稱點”的橫坐標．
解答：解：（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或．
∵a＞2，∴．
當0＜x＜1及時，f'（x）＞0；
當時，f'（x）＜0；
∴f（x）的單調遞增區間為．
（2）當a=4時，，其中x＞0，
令，方程無解，
∴不存在實數m使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f（x）的切線．
（3）由（2）知，當a=4時，函數y=f（x）在其圖象上一點P（x，f（x））處的切線方程為，
設，
則φ（x）=0．

若在上單調遞減，
∴時，φ（x）＜φ（x）=0，此時；
若在上單調遞減，
∴時，φ（x）＞φ（x）=0，此時．
∴y=f（x）在上不存在“類對稱點”．
若，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數，
當x＞x時，φ（x）＞φ（x）=0，
當x＜x時，φ（x）＜φ（x）=0，故．
即此時點P是y=f（x）的“類對稱點”
綜上，y=f（x）存在“類對稱點”，是一個“類對稱點”的橫坐標．
點評：本題考查函數的單調增區間的求法，探索滿足條件的實數的求法，探索函數是否存在“類對稱點”．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．