Question

【題目】如圖，在等腰梯形中，，，，，為梯形的高，將沿折到的位置，使得.

(1)求證：平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】

(1) 過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連接.再分別證明與即可.

(2) 分別以,,的方向?yàn)?/span>,,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,再根據(jù)空間向量求解線面所成的角即可.

(1)證明：過(guò)點(diǎn)作,垂足為,則,,

連接,依題意,為等腰直角三角形,

故,

又,故,所以,

在四棱錐中,因?yàn)?/span>,,

所以,故,

因?yàn)?/span>,,且平面,

所以平面.

(2)由(1)知,平面,所以,,又,所以,,兩兩垂直.以為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)?/span>,,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則各點(diǎn)坐標(biāo)為：

,,,,,

,,,

設(shè)平面的法向量為,則

,故,

取,故.

所以.

設(shè)直線與平面所成角為,則.